ЧЖОУ МНОГООБРАЗИЕ

Чжоу схема,-алгебраическое многообразие, точки к-рого параметризуют все алгебраич. подмногообразия Xразмерности r и степени dпроективного пространства Р ⁿ.
В произведении где -двойственное к Р ⁿ проективное пространство, параметризующее гиперплоскости рассматривается подмногообразие

Его образ при проекции на второй сомножитель есть гиперповерхность в к-рая задается формой FX от r+1 системы и по n+1 переменным, однородной степени dпо каждой системе переменных. Форма F_X наз. ассоциированной формой (или формой Кэли) многообразия X;она полностью определяет подмногообразие X. Эта форма была введена Б. Л. Ван дер Варденом и В. Чжоу [1]. Коэффициенты формы F_X определены с точностью до постоянного множителя и наз. координатами Чжоу многообразия X.
Координаты Чжоу многообразия Xопределяют точку где v-нек-рая функция от п, r, d. Точки соответствующие всем неприводимым подмногообразиям размерности rи степени d, заполняют в P^v квазипроективное подмногообразие С _п,r,d, называемое многообразием Чжоу.Если рассматривать не только неприводимые подмногообразия, но и положительные алгебраич. циклы (т. е. формальные линейные комбинации многообразий с целыми положительными коэффициентами) размерности г и степени dв Р ⁿ, то получается замкнутое подмногообразие к-рое также наз. многообразием Чжоу. Ч. м. является базой универсального алгебраич. семейства где индуцировано проекцией и слой в точке совпадает с циклом X. Простейшими примерами Ч. м. являются многообразия С ₃, j, d- кривых степени dв Р ³. Так, -неприводимое многообразие размерности 4, изоморфное квадрике Плюккера в Р ⁵, состоит из двух компонент размерности 8, где С ⁽¹⁾ соответствует плоским кривым 2-го порядка, а С ⁽²⁾ -парам прямых; состоит из четырех компонент размерности 12, к-рые соответствуют тройкам прямых, кривым, состоящим из прямой и плоской квадрики, плоским кубикам, неплоским кривым степени 3. Во всех этих случаях многообразия C_3,1,d рациональны. Однако из нерациональности схемы модулей кривых достаточно большого рода следует, что при достаточно больших dмногообразия C_3,1,d нерациональны (см. [2]).
Если -алгебраич. подмногообразие, то циклы размерности r и степени d, лежащие в V, образуют алгебраич. подмногообразие Этот результат позволяет ввести нек-рую алгеброгеометрич. структуру на множестве положительных r-мерных циклов многообразия V (см. [1]).
О других подходах к проблеме классификации многообразий см. Гильберта схема, Модулей проблема.

Лит.:[1] Vander Waerden B. L., Chow W.-L., лMath. Ann.